Bir Polinomu İkinci Derece Başka Bir Polinoma Bölmede Kalan

Matematik ve polinomlar ile ilgili bu yazımızda karşılaşılan bir problemin analitik çözümüne kısaca değineceğiz.

Polinom kalan teoremine göre, P(x) polinomunun (x-a) binomuna bölümünden kalan, P(a)’dır. Diğer bir deyişle:

Polinom bölme.

P(x) polinomunun (x-a) binomuna bölümünden kalan A, (x-b) binomuna bölümünden kalan B olsun.

Bizden istenen P(x) polinomunun, (x-a)(x-b) polinomuna bölümünden kalandır. Problemi kısaca ifade edelim:

Polinom bölme.

Bildiklerimizi yerlerine koyalım:

A = P(a) = (a-a) \cdot (a-b) \cdot Q(x) + K(a) = K(a)

B = P(b) = (b-a) \cdot (b-b) \cdot Q(x) + K(b) = K(b)

\deg(K(x)) = 1 \implies K(x) = m \cdot x + n \ni m,n \in \mathbb{R}

A = m \cdot a + n

B = m \cdot b + n

A - B = m \cdot (a - b)

m = \frac{A-B}{a-b}

b \cdot A = m \cdot a \cdot b + b \cdot n

a \cdot B = m \cdot a \cdot b + a \cdot n

b \cdot A - a \cdot B = n \cdot (b-a)

n = \frac{b \cdot A - a \cdot B}{b-a}

SONUÇ

Aşağıdakine benzer bir formülü tüm çabalarım neticesinde googleda bulamadım, belki de ne yazacağımı bilemediğimdendir…

K(x) = \frac{A-B}{a-b} \cdot x + \frac{a \cdot B - b \cdot A}{a-b}

ÖRNEK

P(x) polinomunun (x+2) binomuna bölümünden kalan 3, (x-4) binomuna bölümünden kalan -9’dir. P(x)’in (x+2)(x-4) polinomuna bölümünden kalan nedir?

Verilenler:

a = -2

b = 4

A = 3

B = -9

Formülümüzde yerine koyalım:

K(x) = \frac{3- (-9)}{-2-4} \cdot x + \frac{(-2) \cdot (-9) - 4 \cdot 3}{ -2-4 }

K(x) = \frac{12}{-6} \cdot x + \frac{18-12}{-6}