Çarpanlarına Bölümünün Kalanı Verilmiş Polinoma Bölümden Kalan (Muhteşem Başlık)

Matematik Add comments

Oct 142011

Bir Polinomu İkinci Derece Başka Bir Polinoma Bölmede Kalan

Matematik ve polinomlar ile ilgili bu yazımızda karşılaşılan bir problemin analitik çözümüne kısaca değineceğiz.

Polinom kalan teoremine göre, P(x) polinomunun (x-a) binomuna bölümünden kalan, P(a)’dır. Diğer bir deyişle:

$Polinom bölme.$

P(x) polinomunun (x-a) binomuna bölümünden kalan A, (x-b) binomuna bölümünden kalan B olsun.

Bizden istenen P(x) polinomunun, (x-a)(x-b) polinomuna bölümünden kalandır. Problemi kısaca ifade edelim:

$Polinom bölme.$

Bildiklerimizi yerlerine koyalım:

$A = P(a) = (a-a) \cdot (a-b) \cdot Q(x) + K(a) = K(a)$

$B = P(b) = (b-a) \cdot (b-b) \cdot Q(x) + K(b) = K(b)$

$\deg(K(x)) = 1 \implies K(x) = m \cdot x + n \ni m,n \in \mathbb{R}$

$A = m \cdot a + n$

$B = m \cdot b + n$

$A - B = m \cdot (a - b)$

$m = \frac{A-B}{a-b}$

$b \cdot A = m \cdot a \cdot b + b \cdot n$

$a \cdot B = m \cdot a \cdot b + a \cdot n$

$b \cdot A - a \cdot B = n \cdot (b-a)$

$n = \frac{b \cdot A - a \cdot B}{b-a}$

Sonuç

Aşağıdakine benzer bir formülü tüm çabalarım neticesinde googleda bulamadım, belki de ne yazacağımı bilemediğimdendir…

$K(x) = \frac{A-B}{a-b} \cdot x + \frac{a \cdot B - b \cdot A}{a-b}$

Örnek

P(x) polinomunun (x+2) binomuna bölümünden kalan 3, (x-4) binomuna bölümünden kalan -9′dir. P(x)’in (x+2)(x-4) polinomuna bölümünden kalan nedir?

Verilenler:

$a = -2$

$b = 4$

$A = 3$

$B = -9$

Formülümüzde yerine koyalım:

$K(x) = \frac{3- (-9)}{-2-4} \cdot x + \frac{(-2) \cdot (-9) - 4 \cdot 3}{ -2-4 }$

$K(x) = \frac{12}{-6} \cdot x + \frac{18-12}{-6}$

$K(x) = -2 \cdot x - 1$

Leave a Reply Cancel reply

© 2012 Dissipated Heat

Suffusion theme by Sayontan Sinha